Dois-je ajouter la balise H1 au bloc qui n'est visible que sur les appareils mobiles ?

Non. N'utilisez qu'une seule balise H1 par page.

Si vous faites une copie d'un bloc avec des paramètres de visibilité différents, le code du bloc reste sur la page et est visible par les robots des moteurs de recherche. C'est pourquoi il faut s'assurer que le deuxième bloc ne comporte pas la balise H1.