Нужно ли назначать H1 в блоке, который виден только на мобильных ?

Тег H1 строго должен быть на странице только один. 

для друго другие настройки видимости, то код этого блока вссе равно содержится на странице и виден для посковых машин. блока, проверьте, что во у вас два одинаковых блока, проверьте, что во втором не назначен H1.